اما دسته دوم، مسئله پراکندگی امواج^[۲۸] یا مسئله میدان خارجی^[۲۹] است که انرژی موج در میدان دور تولید شده و به سمت میدان نزدیک مسئله انتشار پیدا می­ کند. منبع زلزله و انفجار در اعماق زمین از جمله مثال­هایی برای این مورد هستند. فرمولاسیون روش المان نامحدود برای هر دو دسته مسئله یکسان است. تمرکز این مطالعه روی حالت اول است، چون اثرات بار دینامیکی سازه روی پی و خاک اطراف آن و انتشار امواج تولید شده تا حوزه دور بررسی می­ شود.

۴-۱-۳-مروری خلاصه بر تاریخچه توابع امپدانس
همانطور که گفته شد از توابع امپدانس، به میزان گسترده­ای برای محاسبه ارتعاشات پی­های حجیم ماشین آلات سنگین و همچنین تحلیل اندرکنش خاک و سازه در محاسبات زلزله استفاده می­ شود. باید توجه داشت که در حالت میدان خارجی خاک مستقیماً نقش انتقال بار را دارد که این برخلاف حالت میدان داخلی است که منبع لرزش خود سازه یا ماشین است. باید به این نکته توجه داشت که در هر دو حالت هدف یکسان بوده و ارزیابی حرکات پی تحت بار­های خارجی و در نتیجه تغییر مکانهای ماشین و یا سازه در هر دو حالت جز اهداف مسئله است. این مقصود جز با در نظر گرفتن توأم مشخصات پی و خصوصیات سازه تأمین نمی­ شود.
در این قسمت به دلیل گستردگی مطالعاتی که محققین بر توابع امپدانس انجام داده­اند، بدون پرداختن به جزئیات، بررسی کوتاهی از روش های مختلف انجام می­ شود.
در سال ۱۹۰۴ لمب^[۳۰] به عنوان نقطه آغازین حرکت، مطالعاتی بر روی ارتعاشات یک نیم­فضای الاستیک خطی انجام داد، بارگذاری در نظر گرفته شده در این حالت، هارمونیک و نقطه­ای بود و این عمل در واقع تعمیم مسئله بوسینسک در حالت دینامیکی بود (گتمیری، حائری، ۱۳۷۵).
در سال ۱۹۳۶ رایزنر^[۳۱] عکس العمل یک صفحه صلب دایره­ای قرار گرفته بر سطح یک نیم فضای الاستیک همگن را تحت ارتعاش عمودی هارمونیک، مورد تحلیل قرار داد. او با توجه به انرژی قابل توجه امواج حجمی و سطحی تولید شده حین ارتعاش، و این مسئله که در یک نیم فضا این امواج به صورت نامحدودی منتشر می­شوند، بدون اینکه برگشت انرژی صورت بگیرد، مسئله اتلاف انرژی در اثر عمل تابش را برای اولین بار مطرح کرد. بدین ترتیب که محیط در هر صورت سبب میرایی می­ شود، گرچه الاستیک خطی بوده و حتی استهلاک مادی انرژی نداشته باشد (گتمیری، حائری، ۱۳۷۵).
از سال ۱۹۵۳ تا ۱۹۵۶، بایکرافت^[۳۲]، آرنولد و همکاران^[۳۳]، کوئینلن^[۳۴] و سانگ^[۳۵]، با توجه به کارهای گذشته در عمومیت دادن و طبقه بندی کارهای رایزنر کوشیدند و حرکات مربوط به شش درجه آزادی پی­های سطحی را ارائه کردند (گتمیری، حائری، ۱۳۷۵).
از سال ۱۹۶۲ تا سال ۱۹۶۷ در حالیکه الردوی و همکاران^[۳۶]، اوجوبی و همکاران^[۳۷]، مشغول تکمیل روش های قبلی بودند، هسیه^[۳۸] و بخصوص لیزمر^[۳۹] برای نخستین بار متوجه این مطلب شدند که می­توان رفتار پی سطحی و خاک را در حالت ارتعاش قائم به مانند یک سیستم یک درجه آزادی مدل کرد، بطوریکه که دارای سختی و میرایی ثابت (مستقل از فرکانس) باشد. پس از آن، این روش ساده سازی به روش لیزمر معروف شد و توسط ویتمن^[۴۰]، ریچارت^[۴۱] برای تمامی حرکات گسترش یافته است (گتمیری، حائری، ۱۳۷۵).
در نهایت در انتهای دهه ۶۰ و اوایل دهه ۷۰ که تکمیل روش های تحلیل اندرکنش خاک و سازه سبب پیشرفتهای عمده­ای در این علم شد، نتایج به صورت دو تابع وابسته به فرکانس ارائه شدند که تابع اول نمایانگر بخش حقیقی و تابع دوم معرف بخش موهومی، سختی دینامیکی مختلط بود که در نهایت به عنوان توابع امپدانس خوانده می­شدند (گتمیری، حائری، ۱۳۷۵).
در ۳۰ سال اخیر به مرور چندین روش کارآمد برای محاسبه امپدانس پی­ها ابداع شده است. تکنیک­های قابل قبول حاضر عبارتند از :

1. 1. راه حل­های تحلیلی بر اساس تکنیک­های تبدیل انتگرال.

1. 1. فرمولاسیون نیم تحلیلی با المان مرزی به طوری که فقط جداسازی لازم را برای سطح بالایی زمین تأمین کند.

1. 1. روش های المان محدود دینامیکی، با بهره گرفتن از مرزهای جانبی ویژه انتقال امواج.

1. 1. روش های مختلط^[۴۲]، شامل ترکیب روش های عددی و روش های تحلیلی.

اصولاً در کاربردهای عملی، انتخاب روش مناسب به میزان زیادی به اقتصاد و ابعاد پروژه و به همان نسبت در دسترس بودن نرم افزار­های کامپیوتری مربوطه دارد. علاوه بر این، روش انتخابی باید قدرت انعکاس مشخصات کلیدی زیر را برای سیستم خاک و پی داشته باشد:

• • شکل سطح تماس خاک با پی (دایره­ای، نواری، مستطیلی و دلخواه).

• • طبیعت پروفیل خاک ( یکنواختی در عمق، رسوبات لایه لایه و لایه سطحی بر روی بستر سنگی).

• • میزان مدفون شدگی (پی بر روی سطح، مدفون و شمع).

• • مود ارتعاش و فرکانسهای تحریک.

بایستی توجه داشت که در مورد یک مسئله مهندسی خاص، کاربرد این روش های محاسباتی، عمل ساده­ای نمی ­باشد. بلکه نیازمند ایده­آل کردن سیستم واقعی و همچنین مستلزم تدارک اطلاعات مهم در کنار هزینه محاسبات است. به همین سبب و همچنین بدلیل اینکه تعیین عکس العمل پی­های سطحی یا نیمه مدفون در برابر بار­های عمودی استاتیکی و دینامیکی، مسئله­ای است که کاربرد فراوانی برای مهندسین ژئوتکنیک دارد، بایستی اهمیّت هر دو اثر عمق و نوع مدفون شدگی را به طور پارامتریک بررسی کرد. علاوه بر آن بواسطه ریاضیات پیچیده مسئله، روش های تحلیلی ذکر شده در بالا برای حل مسائل عملی مناسب به نظر نمی­رسد. به همین سبب تاکنون محققین بسیاری سعی در ارائه روابط مختلف برای استفاده در حالت کلی نموده ­اند
(گتمیری، حائری، ۱۳۷۵).
بطور خلاصه دو دسته نتایج تحلیلی برای توابع امپدانس در حالت نیم­فضا موجود است. اول، نتایج تحلیلی مربوط به (Luco & Westmann, 1972) و دوم، نتایج تحلیلی مربوط به (Oien, 1971) است. از جمله نتایج تحلیلی مربوط به حالتی که لایه­ای از خاک در حالت ویسکوالاستیک روی سنگ بستر قرار گرفته باشد، می­توان به
(Tassoulas & Kausel, 1981) اشاره کرد. روش نیمه تحلیلی برای محاسبه توابع امپدانس در حالت نیم­فضا توسط Dasgupta & Chopra, (1977) ارائه شده است. روش کار آنها به این صورت است که سطح نیم­فضا را به تعدادی المان خطی تقسیم کرده­ و هر بار تنش یکنواختی را به هر یک از المانها اعمال گردیده و در نهایت جابجایی هر نقطه در اطراف این المان­های بارگذاری شده، با یک روند تحلیلی بدست آورده می­ شود. با محاسبه نرمی نقاط سطح مشترک سازه و پی و با بهره گرفتن از یک سری عملیات جبری به ماتریس سختی دینامیکی سیستم رسیده و در نهایت با بهره گرفتن از معکوس آن به ماتریس نرمی سیستم می­رسند. آنها در گزارشی که در کتابخانه زلزله دانشگاه برکلی کالیفرنیا موجود است اظهار کرده ­اند که انتگرالهای حاصله در این روش منفرد بوده ولی با این حال انتگرالها را بصورت عددی حل کرده ­اند. با وجود این مطلب به جوابهای خوبی رسیده ­اند. آنها همچنین با در نظر گرفتن مصالح بصورت ویسکو الاستیک، توابع نرمی را برای این حالت ارائه داده­اند. البته توابع نرمی برای حالت ویسکوالاستیک با ضریب میرایی خیلی پایین را معادل با حالت الاستیک فرض کرده ­اند.
در این مطالعه برای ارزیابی میزان صحت برنامه نوشته شده، مقایسه نتایج حاصله از برنامه با روش نیمه تحلیلی (Dasgupta & Chopra, 1977) انجام شده است. در ادامه به مقایسه نتایج و نحوه به دست آوردن توابع نرمی در حالت خاک روی بستر سنگی به تفصیل صحبت خواهد شد.
۴-۲ مدل سازی با روش المان محدود
روش المان محدود به دلیل قدرت فراوانی که در مدل سازی دارد، بسیار مورد علاقه محققین در زمینه ­های مختلف علوم مهندسی قرار گرفته است و در سالهای اخیر پیشرفت­های زیادی نیز داشته است. محققین مختلفی مثل Zienkiewicz & Taylor, (1977)،
Cook, (2007) منابع ارزشمندی برای این روش ارائه کرده ­اند که بسیار مورد استفاده محققین قرار گرفته است. شاخه مهندسی ژئوتکنیک از جمله شاخه­هایی از علوم مهندسی است که روش المان محدود و همچنین روش های عددی دیگر، بطور گسترده­ای در آن استفاده می­ شود. همانطور که از اسم این روش پیداست، این روش برای محیط­های محدود کاربرد دارد و در حالاتی که با حیطه­های بی­نهایت سروکار داریم باید از روش­ها و تکنیک­های دیگری کمک بگیریم که در فصل دوم در این مورد صحبت شده است. بطور کلی در مسائل ژئوتکنیکی که بطور گسترده­ای با محیط­های بی­نهایت سروکار داریم، باید از تکنیک یا روشی برای مدل سازی حیطه بی­نهایت، جهت مدل سازی درست مسئله استفاده کرد.
در این مطالعه جهت مدل سازی میدان نزدیک از روش المان محدود با المان­های چهار ضلعی هشت گرهی استفاده شده است. به منظور صحت برنامه نوشته شده، دو مسئله­ توسط برنامه و نرم افزار تجاری آدینا^[۴۳] حل شده و نتایج حاصله از آن دو با هم مقایسه شده است.
در مسئله اول همانطور که در شکل ۴-۱ هم پیداست، محیط الاستیک با مرز بسته در دو جهت تحت بارگذاری گسترده وارد بر المان هشتم بررسی شد. برای بررسی صحت الگوریتم نوشته شده جهت اعمال بارگذاری گسترده و همچنین صحت ماتریس سختی، تغییر مکانهای نقاط مختلف با یکدیگر مقایسه شده ­اند. این مدل شامل ۴۰۷ درجه آزادی بود که بیشترین خطای موجود بین حل­­های برنامه و نرم افزار آدینا، ۰٫۱۱% بود، که این موضوع نشان دهنده صحت برنامه نوشته شده برای دو قسمت الگوریتم بارگذاری و الگوریتم مربوط به ماتریس سختی بود. ولی برای حل معادله حرکت که در فصل قبل در موردش صحبت شد، علاوه بر بررسی دو الگوریتم ذکر شده باید الگوریتم مربوط به ماتریس جرم نیز بررسی می­شد. از اینرو همان هندسه، این بار جهت آنالیز مودال استفاده شد. در این حالت از مقایسه مقادیر ویژه تعمیم یافته، که همان فرکانس­های ذاتی یا طبیعی سیستم هستند، استفاده شد. تعداد فرکانس­های طبیعی سیستم به تعداد درجات آزادی سیستم است. خوشبختانه با مقایسه ۴۰۷ فرکانس حاصله از برنامه و نرم افزار آدینا، بیشترین خطای موجود در بین دو سری نتایج، ۰٫۰۰۳۴۵ بود. این دو مقایسه نشان دهنده این مطلب است که الگوریتم نوشته شده برای روش المان محدود از دقت خوبی برخوردار است.

شکل ۴-۱ مدل محاسباتی جهت بررسی صحت برنامه نوشته شده المان محدود
قبل از اینکه به ادامه بحث بپردازیم لازم است نکته­ای برای کسانیکه شاید روزی این پایان نامه را مطالعه کنند بیان شود. همانطور که در قبل هم اشاره شد، Zhang & Zhao, (1987) در مطالعه خود سه مثال در مورد ترکیب روش­های المان محدود و المان نامحدود را بررسی کرده و در مثال اول خود هندسه شکل ۴-۱ را در سه حالت بررسی کرده بودند. اول تمام گره­های مرزی را آزاد، دوم تمام گره­های مرزی در دو جهت را بسته فرض کرده و در نهایت ترکیب روش­های المان محدود و نامحدود را بررسی کرده بودند. همانطور که اشاره شد نتایج برنامه نوشته شده المان محدود در حالت الاستیک با نرم افزار ADINA بررسی شد. اما برای بررسی نتایج روش المان محدود در حالت ویسکوالاستیک مدتها وقت صرف شد تا نتایج با نتایج ارائه شده در مقاله مذکور مقایسه شود. چون نرم افزار ADINA تاجایی که بررسی شد حالت ویسکوالاستیک را آنطور که مد نظر این مطالعه بود، در نظر نمی­گرفت.
۴-۳-توابع نرمی در حالت دوبعدی برای نیم­فضای الاستیک
۴-۳-۱-مقدمه
همانطور که در قبل هم اشاره شد در این مطالعه جهت دستیابی به توابع امپدانس و توابع نرمی از روشی که توسط (Dasgupta & Chopra, (1977 در سال ۱۹۷۷ ارائه شده، استفاده شده است. بنا به تحقیقاتی که پیرامون نحوه بدست آوردن توابع نرمی، علیرغم وسعت شدید تحقیقات انجام شده، صورت گرفت، در هیچ مقاله­ای روش مذکور جهت دستیابی توابع امپدانس و نرمی بکار گرفته نشده است! در حالت دو بعدی برای پی سطحی، برای حرکات مختلف، چهار تابع نرمی موجود است. رسیدن به توابع نرمی مربوط به کوپل حرکت افقی و دوران، مقداری پیچیده است. در این روش این ترم با مقداری عملیات جبری به سادگی قابل حصول است.
۴-۳-۲-تعریف توابع نرمی
در شکل ۴-۲ اندرکنش خاک-پی-سازه بصورت شماتیک نشان داده شده است. سازه موجود که رفتاری خطی دارد تحت تأثیر نیروها و لنگرهای دینامیکی قرار می­گیرد. این نیروها با عبور از سطح تماس خاک و پی، سبب بروز تغییر مکانها و چرخشهای دینامیکی پی می­شوند. نیروهای مذکور یا بطور مستقیم از طریق اعمال خارجی (مثل ماشین آلات یا امواج اقیانوس) به سازه وارد می­ شود و یا مانند زمین لرزه بطور غیر مستقیم سازه را تحت تأثیر قرار می­دهد. این حرکات پی که مقدار نسبی آنها بویژه به مشخصات سختی خاک زیر پی و هندسه سطح تماس آن بستگی دارد، به دو صورت روی سازه تأثیر گذار است.

1. 1. فرکانس­های طبیعی و مودهای نوسان را تغییر می­دهد، بطوری که درجات آزادی جدیدی به سیستم اضافه می­ شود.

1. 1. قسمت اعظم انرژی را بوسیله تشعشع (تابش) امواج پراکنده می­سازد.