ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
بر اساس نتایج بدست آمده می‌توان نتیجه گرفت انحراف معیار محاسبه شده برای شاخص‌های بازار سرمایه به ترتیب از بازدهی صنعت، بازدهی کل سهام، بازدهی۵۰ شرکت برتر و شاخص بازدهی مالی رو به افزایش است. در واقع شرکت‌های صنعتی ای که ارزش سهام آنها در شاخص بازدهی صنعتی محاسبه می شوند دارای نوسان کمتری در طول دوره مورد بررسی نسبت به شرکت‌هایی می باشند که ارزش سهام آنها در شاخص بازدهی مالی محاسبه می گردند.

در نهایت برای پاسخ به وجود دنباله پهن در سری زمانی شاخص‌های مورد مطالعه می‌بایست از تکنیک نمودارهای Q-Q^[189] استفاده نمود. تکنیک Q-Q ابزاری مناسبی جهت مقایسه بین دو توزیع بشمار می رود. این روش این امکان را فراهم می‌آورد که دو سری از داده های آماری را با یکدیگر از لحاظ فرم تابع توزیع با یکدیگر و یا یک سری از داده های آماری را با خواص توابع توزیع نظری در مقابل یکدیگر با هم مقایسه نمود. فرم تابعی Q-Q به صورت زیر می‌باشد:

بطوری که، معکوس تابع توزیع تجمعی^[۱۹۰]، تابع توزیع تجمعی و حجم نمونه می‌باشد.
در شکل های ۷ و ۸ فرم توزیعی شاخص های مورد نظر در مقابل توزیع نرمال رسم شده است. قابل استنباط است که هر چهار شاخص بازدهی کل سهام، بازدهی مالی، بازدهی صنعت و بازدهی پنجاه شرکت برتر دارای یک توزیع لپتوکورتیک^[۱۹۱] می‌باشند. این نتیجه بدین مفهوم است که هر چهار شاخص دارای دنباله پهن نسبت به توزیع نرمال می‌باشند.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل ۷: آزمون وجود دنباله پهن برای شاخص بازدهی کل سهام
و شاخص بازدهی مالی (به ترتیب از چپ به راست)
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل ۸: آزمون وجود دنباله پهن برای شاخص بازدهی صنعت
و شاخص پنجاه شرکت برتر (به ترتیب از چپ به راست)
بنابراین، با توجه به برآورد تجربی، نتایج بیانگر این حقیقت هستند که شاخص‌های کل بازدهی سهام، بازدهی مالی، بازدهی صنعت و پنجاه شرکت برتر دارای توزیع گاوسی نیستند. همچنین نتایج نشان می‌دهند که توزیع‌های تجربی شاخص‌های مورد مطالعه در این تحقیق دارای توزیع‌هایی با دنباله پهن می‌باشند. بدین مفهوم که توابع چگالی بازده معمولاً دارای دنباله پهن و قله بلند نسبت به توزیع نرمال است. به عبارت بهتر توزیع های شاخص بازدهی‌ نسبت به توزیع نرمال با سطح احتمال بالاتری، نقاط انتهایی را طی می کنند. در چنین حالتی ضریب کشیدگی توزیع نرمال برابر ٣ می باشد. درحالی‌که ضریب کشیدگی اکثر سری‌های زمانی مالی بیش از ٣ است. در واقع بازار سرمایه در ایران دارای رفتاری شبیه سایر بازار های مالی می‌باشد.
۴-۳- برآورد تابع توزیع کستینگ
ابتدا در این بخش با بهره گرفتن از روش‌های هودریک پرسکات، بیزین و زنجیره مارکوف مونت‌کارلو مقدمات لازم جهت برآورد تابع توزیع کستینگ فراهم خواهد شد. بنابراین ابتدا با بهره گرفتن از روش هودریک پرسکات اطلاعات شاخص قیمت سهام در ایران روند زدایی می‌شوند. اطلاعات و آمار این مطالعه به صورت روزانه از شهریورماه ۱۳۸۱ تا بهمن ماه ۱۳۸۹ مورد استفاده قرار گرفته است. نمودار روند تغییرات شاخص قیمت سهام (TEPIX) در طول زمان در شکل ۹ نشان داده شده است.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۹- تغییرات شاخص قیمت سهام
بر اساس تکنیک کستینگ، جهت برآورد تابع توزیع می‌بایست از داده های روند زدایی شده شاخص قیمت سهام استفاده گردد. لذا با بهره گرفتن از روش هودریک پرسکات داده های شاخص قیمت سهام، به صورتی که در شکل۱۰ مشاهده می‌شود، روند زدایی شده است.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل شماره۱۰- داده های روند زدایی شده برای شاخص قیمت سهام
در چارچوب یک تابع توزیع گوسی، با بهره گرفتن از روش بیزی انحراف معیارهای زیر گروه داده های مورد نظر محاسبه خواهد شد.
جهت برآورد پارامتر انحراف معیار برای هر مجموعه داده مورد نظر از روش بیزی استفاده خواهد شد. در این روش که از تکنیک شبیه سازی زنجیره مارکوف مونت‌کارلو^[۱۹۲] استفاده می کند با در نظر گرفتن تابع چگالی شرطی برای محاسبه پارامترها (میانگین و واریانس) به طور متوالی نمونه گیری انجام می دهد. در این تحقیق برای محاسبه پارامترهای مورد نظر با بهره گرفتن از نرم افزار وین باگز^[۱۹۳] که توسط اشپیگل هالتر و همکاران^[۱۹۴] طراحی شده است، استفاده خواهد شد. در برآورد تجربی با بهره گرفتن از داده های روند زدایی شده شاخص قیمت سهام، میزان انحراف معیار تمام زیر مجموعه داده‌ها به روش مونت‌کارلو محاسبه می شود. شکل شماره ۱۱ انحراف معیارهای محاسبه شده از روش بیزی را نشان می‌دهد.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۱- نمودار انحراف معیار محاسبه شده
با بهره گرفتن از روش زنجیره مارکوف مونت‌کارلو
بعد از محاسبه انحراف معیارهای نمونه های مختلف از روش بیزی و محاسبه تابع توزیع مربوط به آن، مقدار عددی پارامتر  حدود ۵۳/۰ برآورد گردید. در نهایت با بهره گرفتن از برنامه نویسی در نرم افزار متلب، تابع توزیع کستینگ به صورت شکل شماره ۴ برآورد شده است.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۲- برآورد تابع توزیع کستینگ
همان‌طور که در شکل شماره ۱۲ قابل مشاهده می‌باشد، نتایج فرم تابعی توزیع کستینگ به صورت آبشاری برآورد شده است. با کنکاش دقیق در روابط آماری می‌توان به این نتیجه رسید که دلیل بنیادینی که چولگی را ایجاد می کند این است که در تابع توزیع کستینگ متغیر  با متغیر  دارای همبستگی می‌باشند. لذا شکل چولگی تابع توزیع برای سرعت متغیر مورد بررسی، بی شباهت به شکل آبشار انرژی یا فرایند کشیدگی گرداب نیست. این ویژگی در فیزیک بدین مفهوم است که انرژی از مقیاس‌های بزرگ به مقیاس‌های کوچک انتقال می‌یابند. این پدیده به میزان همبستگی واریانس سرعت به مقیاس  دارد. در ضمن بر اساس خواص این تابع توزیع، با افزایش واریانس سرعت به وسیله تغییر  ، می‌توان این انتظار را داشت که دنباله سمت چپ پهن‌تر از دنباله راست گردد.
این امر بدین مفهوم است که با افزایش سرعت حرکت قیمت به سمت مثبت می‌بایست دنباله سمت راست دارای امتداد بلند تری باشد. اما اگر سرعت تعدیلات قیمت کاهش یابد، این انتظار وجود دارد که فرم توزیع نیز دارای دنباله چپ بلند تری باشد. این بدین مفهوم است که اگر در بازار شاهد سرعت‌های متعادلی چه از نظر افزایش قیمت و چه از نظر کاهش قیمت باشیم می‌بایست فرم تابع توزیع از هر دو طرف به میزان تقریباً مشابهی امتداد یابد. به عبارت بهتر اگر در بازار حرکات هیجانی منجر به نوسانات شدید، سریعاً تعدیل گردد، این انتظار وجود دارد که فرم تابع توزیع به سمت توزیع نرمال میل کند.
۴-۳-۱- بررسی ویژگی‌های تابع توزیع کستینگ
با توجه به برآورد تجربی(شکل۱۲)، نتایج نشان می‌دهد که شاخص قیمت سهام دارای توزیع گوسی نمی‌باشد. از آنجا که ضریب کشیدگی توزیع نرمال برابر ٣ می‌باشد، ضریب کشیدگی تابع کستینگ برای نمونه های مختلف حدود ۸/۶ برآورد شده است. این نتیجه بدین مفهوم است که تابع توزیع کستینگ دارای دنباله پهن و قله بلندتری نسبت به توزیع نرمال است. به عبارت دیگر این تابع توزیع نسبت به توزیع نرمال با مقدار احتمال بالاتری نقاط غایی را طی می کند. تفاوت رفتار شاخص بازار سهام با حالت نرمال را می‌توان با مقایسه تابع توزیع تجمعی^[۱۹۵]نشان داد. اگر شکل تابع توزیع تجمعی در حالت نرمال به صورت شکل شماره۱۳ در نظر گرفت. بنابراین با رسم تابع توزیع تجمعی برای بازار سهام ایران (شکل شماره ۱۴) می‌توان به راحتی به وجود دنباله راست در تابع توزیع کستینگ نسبت به حالت نرمال پی برد.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۳- تابع توزیع تجمعی در حالت نرمال
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۴- تابع توزیع تجمعی در چارچوب الگوی کستینگ
تفاوت میان کشیدگی تابع توزیع نرمال و تابع توزیع با حالت وجود دنباله پهن را می‌توان با بهره گرفتن از روش مقایسه ای مقداری(QQ)^[196] نشان داد. شکل شماره ۱۵ به دلیل وجود دنباله پهن، حاکی از وجود موقعیت‌های ریسکی بیشتری در بازار سهام ایران نسبت به حالت نرمال می‌باشد.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۵- مقایسه توزیع نرمال با توزیع کستینگ(QQ)
۴-۳-۲-آزمون ثبات مجانبی توزیع^[۱۹۷]
در نهایت این امکان وجود دارد که به آزمون فرضیه ای کستینگ پرداخت. آین فرضیه بیان می کند که با حرکت مقدار لاندا به سمت صفر، تابع توزیع کستینگ به سمت توزیع نرمال حرکت می‌کند. این آزمون به آزمون ثبات مجانبی توزیع مشهور می‌باشد. برای آزمون این فرضیه کافیست مقدار لاندا را که در برآورد الگوی کستینگ مقدار تقریبی ۵۳/۰ برآورد گردید، به سمت عددی نزدیک به صفر (مثلاً ۰۰۰۰۱/۰) میل دهیم. با برآورد تابع توزیع کستینگ و مقایسه آن با توزیع نرمال می‌توان فرضیه فوق را مورد آزمون قرار داد. لذا تحت شرایط جدید منحنی‌های جدید توزیع کستینگ و مقایسه آن با حالت نرمال در شکل های ۱۶ و ۱۷ نشان داده شده است.
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۶- تابع توزیع کستینگ با لاندا ۰۰۰۰۱/۰
ماخذ: محاسبات و یافته های محقق
شکل۱۷ - مقایسه توزیع نرمال با توزیع کستینگ (لاندا ۰۰۰۰۱/۰)
با توجه به شکلهای شماره ۱۶ و ۱۷ به وضوح قابل استنباط است که با کوچک شدن مقدار لاندا توزیع کستینگ که دارای تابع توزیعی با دنباله پهن آبشاری با دنباله سمت راست می‌باشد، به سمت توزیع نرمال حرکت می کند. به عبارت بهتر تابع توزیع کستینگ با لاندای ۵۳ درصد که دارای چولگی شدید به راست می‌باشد با کوچک شدن لاندا چولگی آن از بین رفته و به سمت توزیع نرمال حرکت می کند.
۴-۴-باز تولید دینامیک رفتار شاخص قیمت بازار سهام
مطالعه حاضر برای پاسخ به آخرین سؤال تحقیق اقدام به آزمون باز تولید رفتار شاخص قیمت سهام تحت یک الگوی مشخص اقتصادی کند. هدف از این قسمت تحقیق، آزمون تجربی‌ الگوی اقتصادی ارائه شده در فصل سوم ‌و توانایی قدرت باز تولید رفتار پیچیده شاخص قیمت سهام بازار بورس ایران می‌باشد. لذا جهت باز تولید دینامیک رفتار شاخص بازار سهام می‌بایست در چارچوب قوانین‌ و روابط‌ حاکم‌ در الگو‌ی مورد نظر، تأثیر اجزاء و پارامترهای اثر گذار مورد بررسی قرار گیرد. در ادامه به محاسبه میزان تلاطم^[۱۹۸] به عنوان یکی از مقادیری که برای باز تولید شاخص قیمت مورد نیاز است، پرداخته خواهد شد.
۴-۴-۱-بررسی میزان تلاطم
در این بخش روش پارامتریک که از تکنیک میانگین متحرک موزون نمایی^[۱۹۹] استفاده می‌کند، برای برآورد میزان تلاطم بهره گرفته خواهد شد.^[۲۰۰] در این روش هر چه از زمان حال به گذشته برگشته، به صورت تصاعدی وزن کوچکتری (اهمیت کمتری) برای محاسبه داده می‌شود. روش مورد استفاده به صورت رابطه زیر قابل نشان دادن است.

، تلاطم روزانه در بازار تعریف می شود.  مربع بازدهی، به عنوان نماینده نوسانات واقعی بازار در نظر گرفته شده است. پارامتر لاندا(  )نیز ضریبی ثابت است که دارای مقداری بین صفر و یک می‌باشد. جهت عملیاتی کردن رابطه فوق می‌بایست از عملگر وقفه^[۲۰۱] و محاسبات ریاضی بهره گرفت. روابط نهایی را می‌توان در ادامه نشان داد: