که  توابع تقریبی و  مختصات تعمیم یافته زمان، و به فرم برداری می­باشند. تعیین توابع تقریبی که همه شرایط مرزی را ارضاء کنند مشکل می­باشد، بنابراین برای حل معادلات حاکمه از روش گالرکین تعمیم یافته استفاده می­کنیم. در این روش تنها توابعی مورد قبول می­باشند که از توابع تقریبی برآمده باشند و شرایط مرزی هندسی را ارضاء کنند. حال با جایگذاری توابع تقریبی در معادلات حاکمه و استفاده از انتگرال جزء به جزء و خواص انتگرال توابع متعامد، معادلات حرکتی پاره­ای به معادلات دیفرانسیل معمولی خطی تبدیل می­گردند. آنگاه معادلات را به فرم استاندارد تنظیم می­کنیم:

که:

که در معادله M ماتریس جرم، L ماتریس میرایی، K و Hماتریس سختی فنر و Q ماتریس نیروهای خارجی هستند. این سیستم معادلات بر حسب یک متغیر مرتبه اول به فرم زیر بیان می­شوند:

که بردار Z به فرم زیر تعریف می­ شود:

و ماتریس  به فرم زیر می­باشد:

حال پایداری سیستم توسط مقادیر ویژه­های  تعیین می­ شود.
فصل پنجم- مدل­سازی کامپیوتری
۵-۱- مقدمه
مجموعه دم هواپیما شامل دم افقی، دم عمودی، بالابر و سکان عمودی متحرک می­باشد. دو دم افقی و عمودی معمولا دارای دو تیرک طولی هستند که محل نصبشان شبیه محل نصب تیرک­های بال است. نکات مهمی در زمینه طراحی دم و سطوح کنترلی مربوط به آنها باید مدنظر قرار گیرد. اول اینکه دم­ها معمولا دارای سطح مقطع متقارن هستند و نسبت به بال دارای طراحی ساده­تری می­باشند. دوم اینکه ضریب بار در محاسبه نیروی برشی دم عمودی اعمال نمی­ شود. و کل نیروی برشی دم عمودی همان نیروی برآی دم عمودی است. در محاسبه نیروی برشی دم افقی ضریب بار بایستی در برآی دم افقی ضرب شود. سوم اینکه در صورت عدم وجود بالک، سطوح کنترل نیاز به تعادل جرمی دارند تا دچار ارتعاش شدید نشوند. این تعادل می ­تواند بوسیله افزودن یک وزنه جلوتر از محور لولایشان برقرار شود. همچنین نکته مهم، محل اتصال دم­ها به بدنه است و می­بایستی دقت کافی در طراحی این محل به عمل آید. در این رساله، با در نظر گرفتن تیرک­های طولی، تیغه­های عرضی و پوسته به عنوان اجزای اصلی سازنده دم افقی و عمودی، مدل­سازی این سازه­ها در نرم افزار طراحی Catia صورت گرفته است. الگوی استفاده شده در این مدل­سازی، نقشه مجموعه دم هواپیما مسافربری ایرباس ۳۲۰ می­باشد. پس از طراحی دم افقی، دم عمودی و سازه مخروطی شکل، آنها را در محیط مونتاژ در کنار هم قرار می­دهیم. نقشه قرارگیری تیغه­های عرضی و تیرکهای طولی برای این هواپیما در شکل ۵-۱ نشان داده شده است. پس از مدل­سازی هر کدام از دم­ها، این مجموعه مونتاژ گردیده است. پس از آن، با واردکردن فرمت مناسب از نرم افراز طراحی ذکر شده به نرم افزار المان محدود، تحلیل سازه­ها انجام شده است. تحلیل جزء به جزء قطعات با نرم افزار المان محدود Abaqus انجام می­ شود. این نرم افزار یک مجموعه از برنامه ­های مدلسازی بسیار قدرتمند می­باشد که مبتنی بر روش اجزا محدود می­باشد. این نرم افزار دارای مجموعه المان­های بسیار گسترده­ای می­باشد که هر نوع هندسه­ای را می­توان به صورت مجازی توسط این المان­ها مدل کرد. همچنین دارای مدل­های مواد مهندسی بسیار زیادی است که در مدلسازی انواع مواد با خواص و رفتار گوناگون قابلیت بالایی را ممکن می­سازد. با بهره گرفتن از این نرم افزار می­توان گستره وسیعی از مسایل خطی و غیر خطی شامل مسایل استاتیکی، دینامیکی، انتقال حرارت و الکترونیک را تحلیل کرد. در این فصل ابتدا مراحل مدل­سازی سازه دم­ها شرح داده شده است، سپس با معرفی و تشریح روش اجزا محدود، و بحث المان­بندی و معرفی انواع المان­ها در نرم افزار و کاربردهای آنها به بحث تحلیل سازه پرداخته شده است.